「７７」 リーマン幾何学を勉強しようと思えば、こういう作業からはいるしかない。２００８．２．２６
副島隆彦です。 今日は、２００８年２月２６日です。
アインシュタインの相対性理論を、ぶったたきたいと思う。
現代は、理科系の人間たちを中心に、アインシュタインを神様だとして、祭壇に祭り上げている時代だ。
自分たち、勉強秀才は、サイエンス（近代学問）を信じるのであって、そこらの低脳たちが入る宗教などには、からめ取られない、と、この人たちは、信じている。 そして実情としては、この理科系の人間たちを中心に、アインシュタイン教の信者にされているのである。
戦後世界で、アインシュタインを「人類最高の知恵」として崇拝させ続けたことに深い企（たくら）みがあったのである。彼らは、「現代科学信仰」という悪質な宗教でしかない。そろそろその秘密が世界中でばれつつある。
だから、大宇宙は、本当はどのようになっていて、どういうしくみ（構造）をしているのか、と問うても、誰も答えられないのだということが、満天下に分かってきた。それなのに、まだ、アインシュタイン教を拝まされている。勉強秀才たちという、お坊様階級を上に作って、学校時代に勉強のできなかった民衆、大衆を悪質に支配している。このしくみを暴（あば）いて、打ち壊さないと、人類（人間）は、仕合せになれない。
お金という、支配の道具だけでなく、私たちには、勉強という、支配の道具で、ひどく不幸にさせられてきたのだ。なんとか大きな謎を解かなければいけない。
そして現在もなお、愚劣なる、ビッグバン宇宙論が、各国の体制派のッ主流派の、宇宙物理学の、大僧正（だいそうじょう）どもの、クソ坊主たちによって、盛んに崇（あが）められている。
日本では、佐藤勝彦（さとうかつひこ）というノータリンの東大物理学教授が、この役職をやっている。打ち倒さなければ済まない。 そのためには、数学の方向から、攻めることも必要である。
彼ら体制派の内実も、今やぼろぼろである。世界中の民衆から、こつらは、全く尊敬されていない。むずかしいことを言っている、偉いお坊様たちだ、自分たちには関係ない、という扱いである。
やがて、アインシュタイン教は、その祭壇を暴かれて、地に堕ちるだろう。その時のために、私たちも、今のうちから、少しずつ準備をして、リーマン幾何学とかの、わけの分からない高等数学に接近して、どう分からないのかを、分かりたいと思います。
以下に並べたのは、２ちゃんねる の中の、数学 の中の
「リーマン幾何学スレッド」を、私が、並べ替えて、そして、私たちの理解のために、日本のまじめな数学科学生たちの書き込んでくれる文章から、門前の小僧で、学びましょう。
私は、昔、小室直樹先生の小室塾で、数学の時間になると、まったくついてゆけなくて、恥ずかしい思いをしました。が、そういうことは、気にしません。人間は、自分の分かることを分かればいいのであって、分からないことは分からないと、言い続ければいいのです。人生は、自分のためにあるのであって、人（たにん）のためにあるのではない。 自分にとって、ためになり、勉強になりさえすれば、それでいいのです。 副島隆彦拝
（転載貼り付け始め）
２ちゃんねる 数学 「リーマン幾何学スレッド」から
「リーマン幾何学スレッド 」
80 04/05/02 リーマン幾何学って何の役に立つの？
81 04/05/06 >>80 一般相対性理論の分析とかの役に立ちます。
6. トポロジについて勉強したいんだけど 何からはじめたらいいのかわからない。 なにかお勧めの本とかありますか？
>>6 小林昭七、野水克己の Foundation of Differential Geometry(I) を読みなさい 。
21 03/06/18 微分幾何だったら、小林昭七と野水克己の Foundation of Differential Geometry がお勧めだ。 日本語だったら、ボクは、野水の現代微分幾何入門が好きなんだけど、どうも絶版みたいで残念だ。 Nomizu-Kobayashi も絶版…。 他になにか良い本ないのか。
微分幾何の本なんて本屋に行けばいくらでもある。
66 04/02/19 野水の現代微分幾何入門ならその後復刊した。
http://www.shokabo.co.jp/mybooks/ISBN4-7853-1127-4.htm
68 04/02/23 >>66 その復刊したのがすでに手に入りずらいみたいだが。 去年の8月に復刊して、そこには在庫僅少って書いてあるが、amazon, bk1, Yahoo!Books, 旭屋書店 では買えない。
70 04/02/23 >>66 この本は微分幾何を学ぶ上で必読ですか？ 小林さんのものや、微分幾何とは少しずれるかもしれないけど、森田先生の本などもあります。
71 04/02/23 >>70 必読なんてことはない。 外国人はその本を読めないのに、微分幾何を学んでるんだから。
69 04/02/23 酒井隆はどうなの? 酒井隆氏の「リーマン幾何学」の評判はどうですか？
145 04/10/19 >>144 以前書店でざっと目を通しただけだが、 入門者向けとしてはまあまあです。
146 04/10/19 私は酒井隆の「リーマン幾何学入門」（日本評論社）を推します。
211 2005/09/24 もしかしたら物理で相対論の教科書から勉強したほうが理解しやすいのかもしれません。
79 04/04/30 最近、立花の本を朝倉書店から 復刊してますが、どうですか？
130 04/09/04 リーマン幾何学
現在 頂点に社長１人底辺にオレらヒラたくさんのピラミッド型
将来 大して偉くない上層部たくさん、入社しないので底辺少数 の逆ピラミッド型
351 2007/09/13 擬リーマン幾何の教科書を教えて下さい。
112 04/06/28 リーマン幾何学により、どのような世界を考察できるだろうか？ 応用範囲が一見広そうだけど、実際に応用するとなるとなかなか…。
98 04/06/11 微分幾何と何が違うのですか？ リーマン計量 ローレンツ幾何。
114 04/07/03 >>112 古典力学でも拘束系の力学など色々ある。 電子顕微鏡の電磁レンズ等もその応用。
113 04/06/28 近似リーマンと1次オイラー方程式について、レポートがある。 近似リーマンとは簡単に概要を言うとどんな感じですか？
● 11 03/06/16 いつから計量のことを曲率と呼ぶようになったのですか？
12 03/06/16 >>11 計量と曲率はちがわないのではないか？
13 03/06/16 （・3・) 計量と曲率は全く違うものだ。 曲率は、計量の存在しない通常の線形接続でも
R(X,Y)Z=∇(X)∇(Y)Z－∇(Y)∇(X)Z－∇[X, Y]Z により定義される（１，３）型のテンソル場だ。 それに対し、計量は、擬リーマン多様体で定義される２階共変テンソルだ。
Re:>6 曲率テンソルをg_{ij}とする。 Γ_{jk}^{i}=1/2*Σ_{l}g^{il}(g_{lj,k}+g_{lk,j}-g_{jk,l}) 但し、,kは、k番目の成分による偏微分とする。(反変微分)
14. 03/06/16 接続って結局何なのですか？私には意味がわかりません。
15 03/06/16 まがった空間でベクトルを平行移動すると， もとのベクトルとズレてる。そのズレを表しているのが接続だ。
16 03/06/16 曲率と同値ガウン なのですか？
18 03/06/17 >12 簡単に言えば、直観的に 計量：空間の各点に無限小のモノサシ 計量の微分⇒接続： ある点からある点へのベクトルの平行移動がどうなるかを示す～ポテンシャル～ 無限小離れた点での接空間を比べるための構造, 接続の微分⇒曲率：（より正確には, 接続1フォームの外微分⇒曲率２フォーム）その接続の変化率～場～共変微分の非可換性を測る量。こんな感じかな.
>>18さんの解説で概ねいいと思うんだけど、 そういう疑問に答えるとすれば、むしろ「接続とは、無限小離れた接空間の間で、一方の接空間の接ベクトルに対して、それと「平行」だとみなす他方の接ベクトルを定めるシステム」だと捉えることもできる。
何がユークリッド空間での平行に相当するものかを接続によって定めることで、ベクトル場の微分を一般の空間でも定義できるようになる、と言える。
20 03/06/17 「有限幾何に曲率みたいなものないんですかね?」 と聞いたら、 「曲率?何それ?」 「curvatureです。」 「聞いたことないな。」 だそうです。 微分を差分に置き換えてさ。。。拡張できない?
22 03/07/06 曲がった空間ではベクトルを平行移動するとずれが生じちゃってそれを接続を使って修正するみたいなことを聞いたことあるけどベクトルを回転行列とか使って回転させて修正することってできないのですか？
74 04/03/21 >>22 ずれる、の意味があなたはわかっていないのです。
73 04/03/20 >>70 「現代」というのは、多様体上で接続を用いるところがそうなのかな？ そうなると小林の「曲線と曲面の微分幾何」は、古典的というわけですね。
● 23 03/07/06 平行移動ってどうやって定義するんですか？
24 03/07/06 まず曲線を一つ指定してください。話はそれからです。
25 03/07/06 >>24 指定しました。それから？
● 38 03/07/11 Lie微分とかとも関係があるのでしょうか？
● だれかクリストッフェル記号について解説してください。
61 04/02/17 因みに、接続自体は計量を持ち出さなくても定義できる。平行移動もね。
62 04/02/17 曲面論をちょっと復習した。
63 04/02/18 曲率が内在的な量というガウスのビックリ定理を勉強した。
75 04/03/21 内積の意味がいまいちわからない
76 04/03/22 行列式で内積を定義するときのことですか？
テンソルを基底に分解してそれをベクトル空間とみなして標準内積とってみなさい。同じになるますよ。
84 04/05/14 応用するときにCインフィニティっていう仮定は強すぎることはないですか？
87 04/05/28 >>84 では、区分的にC^∞にします。
88 04/05/31 素人の質問で申し訳ありません。いくつか微分幾何やリーマン幾何の本を見たのですが、共変微分の定義が2種類ありました。
(i).∇_{j} v^i
(vは反変ベクトルの成分)
(ii).∇_{X} Y
(X,Yは接ベクトル)
どちらも同じような定義になっているのですが（ベクトルであるか成分だけかの違いだと思います）、この2つにはどんな関係があるのでしょう？
91 そうですね。不親切ですみません。両方ほとんど同じで
(i): ∇_{i} Y^k =(d_i Y^k + Γ_{ij}^k Y^j)
(ii): ∇_{X} Y = X^i (d_i Y^k + Γ_{ij}^k Y^j) d_k
です。(i)と(ii)を対応させるため記号と添え字を最初とは変えました。 (i)も(ii)も同じ接ベクトル Y = Y^k d_k (これは反変ベクトル)に対する共変微分です。d_iは偏微分の記号です。(i)は成分だけに対して、(ii)は基底も含めて微分という点で違っていると思っています。
>>91 同じものだと思われる。(ii)から(i)が云えるのは容易に分かるだろう。 (i)を使って∇_{X} Yを定義するのも容易であろう。 詳しいことは知らないので、他の人の意見を待つように。
93 04/05/31 >>91
∇_{i} というのは、X=∂/∂x^i に対する ∇_{X} のこと。 ただし、(i) の表記法は、本当は ∇_{i} という作用素が Y の第k成分 Y^k だけに対する作用素ではなく、Y の全成分に対する作用素なので、本当は ∇_{i} Y^k ではなく (∇_{i} Y)^k とでも書くべきモノです。そのため、∇_{i} Y^k のことを セミコロンを使って Y^k_{;i} と書いたりします。
（ http://home.p07.itscom.net/strmdrf/manifold21.htm の (21-40) 参照）
94 04/06/01 丁寧にありがとうございます。
∇_{i} Y^k をkについて基底∂_kを足し合わせて縮約すれば同じものというわけですね。 しかし、まだよくわかっていないのでまだ疑問があります。また基本的な事ですみません。 基底の変換
∂_a = B^i_a ∂_i , B^i_a=(∂x^i/∂y^a), ∂_a=∂/∂y^a,∂_i=∂/∂x^i, i,a=1,2,…,n
をしたときに、ヤコビ行列 B^i_a は（1,1）テンソルにならないのですか？ これを共変微分するときに、(ii)の定義であればBは関数と思ってやればいいのですが、(i)の定義では（1,1）テンソルの成分として共変微分を考えなくてもいいのでしょうか？ 極端にBがクロネッカーデルタならどうなるのでしょう？
95 04/06/01 >>94 基底の変換って …。テンソルというのは基底に依存しない概念なんですから、 それはテンソルではありません。
(1,1) テンソルなら、共変ベクトル（＝１形式）と反変ベクトルの双線形形式という形に表現できなければなりません。 クロネッカーデルタはOKです。これは共変ベクトル（＝１形式）と反変ベクトルの縮約という双線形形式に対応する(1,1)テンソルです。
96 04/06/03 たしかにそうでした。すっかり抜けていました。 ∂_a = B^i_a ∂_i 自身が反変ベクトルですのでBの添え字aは共変微分には関係ありませんね。 本当にありがとうございました。
105 04/06/26 >>84 色々な変分問題を考えるとき、確かに C^∞ と言う仮定は強すぎる。その範囲で解が無い事もある。
115 04/07/24 私は、リーマン幾何の初学者なので以下の説明にも アホなミスがあるかもしれませんが・・・ コントラストと計量の関係がどうなってるのか教えてください。
● コントラストは距離のようなものでD(p,q)>0、D(p,p)=0という要請があって、一方計量
としてコントラストから計量が導かれるという説明が ありました。どうして負号がつくんでしょうか？
どなたか教えていただけないでしょうか。
118 04/08/03 私は、リーマン幾何に覚えがありますが 「コントラスト」とは何ですか？ どの本に書いてます？
123 04/08/11 リーマン幾何を学びたいのですが、 トポロジー、多様体の基礎レベルをやっておけば大丈夫でしょうか。
124 04/08/13 >>123 それで十分です。 村上慎吾、多様体も、すぐリーマン幾何に入っている。 ありがとう。
127 04/08/22 アインシュタイン方程式の厳密解に挑戦する香具師
http://science3.2ch.net/test/read.cgi/math/1092872747/
128 04/08/27 可積分 G 構造で重要なものにはどんなのがあるのですか。
143 04/10/16 コンパクトな C^3 級リーマン多様体で、断面局率が常に 0 以下なら K1 である（アダマール－カルタンの定理）。これを精密化したピンチング問題はどの程度進んでいるのだろうか。
152 04/11/06 C^2でもいい。証明がちょっとだけ面倒になる。 ピンチング問題なら普通コンパクト性を仮定するので余り関係ない。
153 04/11/09 今数値ははっきり記憶にないが、 コンパクト且つ、断面曲率が [-1-c_n, -1] で、 非ユークリッド空間形に微分同相 と言うのがあったと思う。
154 04/11/10 非ユークリッド空間形って何ですか?
space form 空間形
161 04/11/26 現在の数学の三大未解決難問は
Ｐ＝ＮＰ問題
リーマンの予想
ポアンカレの予想 です
167 04/12/17 g_{,k}=g g^{ij} g_{ij,k} どなたか、この証明を教えてください。
168 04/12/23 両辺をそれぞれベタに展開したら等しいことが判りました。
180 05/03/15 【問題】 n次元ユークリッド空間で、m個の制約式
f_1(x) = 0
…
f_m(x) = 0
で定義される曲面があるとする (x は n次元ベクトル)。 この曲面の Riemann計量を求めよ。
>>180 f_i は一時独立なのかな？ はい。
それは特異点をもたないのですか。 はい、持ちません。
193 2005/06/17 リーマン幾何学とミンコフスキー幾何学の違いを教えてください。
194 2005/06/17 >>193 ds^2 = ∑g_ij(dx^i)(dx^j) において、行列(g_ij)が正定値なのがリーマン幾何学 そうとは限らないのが、ミンコフスキー幾何学。 たとえば、R^4(時空間)においてds^2 = x^2 + y^2 + z^2 – t^2したのがミンコフスキー空間 です。
>ミンコフスキー幾何学は平坦なローレンツ幾何のことだ。
196 2005/06/28(火) ユークリッド幾何 リーマン幾何 ミンコフスキー幾何 ローレンツ幾何
どうしても人名をつけたいのか。
199 2005/06/29 非可換幾何学はコンヌ幾何学ですか
202 2005/06/29 ロバチェフスキー幾何学 ヘッセ幾何学 ケーラー幾何学
多様体なんてｍもっと人の名前ばっかりだ。
Finsler幾何
2007/05/03 最近フィンスラー幾何が盛り返して来た 。
215 2005/11/19 ルブランが最近評判になっているそうだ。
リーマン幾何の問題を複素幾何で システマティックに解いているそうだ。
216 2005/11/20 質問です。 ４次元アインシュタイン多様体なのですが。 Ric = cg とするとき、
スカラー曲率 s = 4c, 長さ |Ric|^2 = 4c^2. ということで、s^2 – 3|Ric|^2 = 4c^2 > 0. という計算は正しいでしょうか？
219 2005/11/22(火) ブラックホールの本によく出て来る、へこんだ方眼紙みたいなのは何といいますか。
>>219 懸垂面 ほんとかよ
223 2005/11/23 多様体上の調和微分形式の長さに対して、 平均値の定理みたいなのって成り立つのでしょうか？
228 2005/11/27 そんなのがあったとしたらコンパクト多様体上の調和形式の長さは常に定数でなければならないが、０でない調和形式で０点を持つものは腐るほどある。
229 2005/11/27>>228 >０でない調和形式で０点を持つものは腐るほどある。 やはりそうですか。今それで困っているのです。 調和という性質から、局所的に変形して０点をなくすとかは出来ませんよね？
また、今はコンパクト４次元アインシュタインという状態で２形式で０にならないものを探しているのですが、 こういう条件からは、０点をなくすと言うのは何とかならないでしょうか？
230 2005/11/27 その調和形式をどうやって作るかを決めないと性質を調べにくいと思います。コホモロジー類に何か条件を課するのでしょうか？
231 2005/11/27 簡単に言ってしまうと、上の条件の下、シンプレクティック形式を探しているのです。
もちろん任意の４次多様体がシンプレクティックとは限らない。だけど、これだけ条件があれば十分かとも思う。
簡単のため$b_{-} > 0$(交差数が負のベッチ数が正)を仮定してます。 この中から微分形式 w を取り、その反双対部分 w- をとれば
w- wedge w- = -|w-|^2
となるわけです。 積分が負だから、恒等的に０ではない。 で、０点があると困るのですが。。。
このままだと、性質は反双対だけになってしまいますね。 調和形式についてあまり勉強してないために、作り方とかを良く知りません。 何か参考になる本とかありますか？
232 2005/11/27 調和形式を作る話ですか。 古典的には周期を与えて作るのがドラーム理論。 複素多様体上で零点や極を与えて有理型函数を作るためにはそれに応じた調和形式を作ればよいというのが ワイルとか小平邦彦（こだいらくにひこ）の理論。
先入観かもしれませんが調和形式に０点があった場合、 その個数と自己交点数の関係とかが問題になるような気がします。０点があったとき、０点集合の次元について何か言えないのですか？
233 2005/11/27 >>232 その個数と自己交点数の関係とかが問題になるような気がします。 ０点があったとき、０点集合の次元について何か言えないのですか？ 確かにそのような気がします。次元についてはあまり考えていませんでした。
しかし、４次元(オープン)で無いことは確かです。 そして、もしかしたら、１次元以下になるのではないかとも考えています。
(２単体上で０だったら、それを面にもつ４単体上で w wedge w = -|w|^2の積分が０になってしまう。)
ところで、ドラーム理論と言うのは「小平の分解定理」に関連するものでしょうか？ あれは調和空間の直交空間＝ラプラシアンの像、ということだったと思ったのですが。また、周期を考えると言うことは、
任意小のコンパクト集合を台とするような非定値調和形式が作れるということでしょうか？ それなら、１の分解とか局所変形とかも出来そうな気がする。
234 2005/11/27 というか、点だったとしても、その個数が特性数とかに関連して決まってるとかそういうことはないのですか？
235 2005/11/27 確かに、調和形式の０点は特性数とかも関係するように思えます。つまり、位相的条件がだいぶ影響してくると言うことですよね。
236 2005/11/28 >>233 Aronszajnの定理によれば調和形式が空でない開集合上で０なら全体で０になります。
237 2005/11/28 >>236 そういわれてみれば確かに。 ということは調和形式の０点はどんな場合でも n – 1 次元以下ということですね。 そうすると１の分解等の局所変形は無理か。
しかし、Aronszajnのは、一点で０で近傍上「無限階の意味で抑えられる」。 とかではなかったっけ？
ちなみにWeitzenbockの公式から、一点で０⇒任意階の共変微分もその点で０となりそうなものですが。そうすると、まだ確かめてないけど「無限階の意味で抑えられそう」だし。 ０点を持つ調和形式って０点近傍でどんななんだろう。。。
238 2005/11/28 正則関数は調和です。
239 2005/11/28 Aronszajnの論文を確認してきました。 コンパクト・リーマン多様体の場合、近傍上の不等式の条件は自動的にＯＫだから、 ０をもつ場合、０点周りの半径 r の球上で∫|u| > O(r^n)という n がある。 ということのようですね。 ・・・任意階の共変微分が０でもこの条件は満たされないだろうか？
240 2005/11/28 要するに調和形式は解析関数と同様、 テイラー係数で決まってしまうということだと理解してください。
241 2005/11/28 >>240 本当ですか？ それなら、任意階の共変微分が(一点で)０なら、近傍上０ですか？ この条件は一点で０となるから導けると思うのですが。
242 2005/11/28 Weizenboeckの公式からは １点で０ーーー＞任意階の共変微分もその点で０は導けません。
243 2005/11/28 >>242 むむ。そこが間違いですか。確かにどこか間違いがあるのですが。 しかし、
△ｗ = -∇∇ｗ＋(ｗに関しての曲率の線型項)ですよね。 まず、これから、(一点での話ですが)
ｗ=０⇒∇ｗ=０
さらに△∇ｗ=-∇^3ｗ＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
０=∇△ｗ=-∇^3ｗ＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
上から下を引くと
△∇ｗ=(△∇-∇△)ｗ=-(∇ｗに関しての曲率の線型項)＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
したがって、一点で△∇ｗ=０で∇^3ｗ=０
以下同様。どこが間違ってるのでしょうか？
244 2005/11/28 Weitzenboeckの公式の右辺がちがうのでは？ Bochner Laplacianはナブラの2乗ではありません。
245 2005/11/28 正確ではありませんでした。省略してしまいました。
-∇∇ｗとｗの内積を取って |∇ｗ| だから、∇ｗ=０は確実です。
(∇∇で、g^kl∇_k∇_lとします。)
で、下のほうでは任意のベクトルＸを取って△∇_X(ｗ)を考えます。
△∇_X(ｗ)=-∇∇[∇_X(ｗ)]＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
０=∇_X(△ｗ)=-∇_X[∇∇ｗ]＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
よって、△∇_X(ｗ)=(△∇_X-∇_X△)ｗ
=-(∇ｗに関しての曲率の線型項)＋(∇ｗに関しての曲率の線型項)
これが一点で０(任意のＸで)だから、一点で
０=△∇_X(ｗ)=-∇∇[∇_X(ｗ)]＋(∇ｗに関しての曲率の線型項) =-∇∇[∇_X(ｗ)]
これと∇_X(ｗ)の内積を取って |∇(∇_X(ｗ))|=０
と考えました。
247 2005/11/28 素人ですが定数って調和形式ではないですか？ 自明じゃない調和形式wをとってある点pをえらんで w’=w-w(P)とか考えたらw’とかはpで0になる調和形式とかにならないですか？
248 2005/11/28>>245 2行目で部分積分していませんか？Bochnerは 曲率項の条件があれば部分積分してw＝０が導けることに気づいたわけですが。
>>246 はやるかもね。
>>247 健全な議論ですが、コンパクト多様体上の0次調和形式は定数に限ります。
249 2005/11/28そうか。考えてるのは２次の調和形式でしたね。４次元の話あんまりしらないんすけど調和形式ってあれば定数倍をのぞいて一つなんすか？
250 2005/11/28>>249 一つのコホモロジー類につき 一つだけあります。
251 2005/11/28＞250 なるほど。つまり引き算して０点をつくるって作戦は成功しないんすね。おさわがせしました。
252 2005/11/28 いやいや、私の乱雑な文を読んででいただけただけで結構うれしいです。 あと、ここまでの話によればコンパクト台のcut offとかを使って局所変形をするとか言うのも無理みたいですね。 実解析的のようなものらしい。
>>248 消滅定理というやつですね。 たしか、１次のときはリッチ>０ですよね。
・・・どこかに間違いがあるはずなのですが、 >>245 は結構自信あるのです。 どこに間違いがあるのか分からないのも結構つらいものです。 だれか教えてください。お願いします。
253 2005/11/28 >>252 だから、245の二行目で反則わざを使っている。
254 2005/11/28 ∇ｗ=０は確実です。
255 2005/11/28 W公式とw＝０とΔw=0から出せるのは wのBochner Laplacian = 0 (あなたの記号でナブラを二回wに施したものが０） であり、wの共変微分＝０ではないと思いますが。
256 2005/11/28 なるほど。積分してるから、∇ｗ=０もいえないのですか。馬鹿な間違いだ。
すいません。最後に一つ質問させてください。 うえの議論で、実解析的というのがありましたが、複素正則の場合と違って０点が孤立するとかは言えませんよね。
257 2005/11/28 >>253-254 素人なのでくわしく教えていただけませんか？>>245さんがいってるのは
0=(-∇∇ｗ,ｗ)=(∇ｗ.∇ｗ)=∫|∇ｗ
という感じの議論だと思いますが、これではおかしいですか？
259 2005/11/28>>256 調和形式の次数によります。 直積多様体の場合に考えてみればよくわかります。 また、１点におけるテイラー係数で決まる というのと実解析的というのは厳密には区別しないといけません。 計量としてC^∞級のものを考えることもある。
262 2005/11/29 色々と教えてもらえまして、本当にありがとうございました。 まあ、そんな簡単に０点のない形式が見つかっては困るようですが、 だいぶ状況も分かってきましたし、 条件もかなりある(４次元とかアインシュタインとか)ものですから、 別方面から頑張ってみようと思います。 後、できれば>>259を教えてもらいたいのですが。
263 2005/11/29>>262 Mを種数gが２以上の閉リーマン面、 wをM上の０でない正則１形式とすると、
wは共形計量に関して調和であり、（重複を込めて数えて）２g－２個の０点を持つ。 wをMxM上に第一成分への射影によって引き戻して得られる１形式は直積計量に関して調和であり、その０点集合はMの次元に等しい。
264 2005/11/29>>263 なるほど。つまりいくらでも大きい次元の０点をもつ調和形式を作れるわけですね。 本当に色々とありがとうございました。 どういたしまして。
266 2005/11/29 エルミートの多項式とチェビシェフの多項式の直交性について詳しく教えてください。
できれば数式を用いて説明していただけるとありがたいです。 よろしくお願いします。
272 2006/01/08 曲面Ｍ上の輪ｌに対し、ｌを中心線とする帯ＮがＭの内部に存在するという事実を証明したいのですが、これは明らかではないのでしょうか？ 帯の幅を十分小さくとればいいと思うのですが。
274 2006/01/08 曲面の条件がわからんが、局所ユークリッドなら明らかでは？
275 2006/01/08 曲面上に切断輪は存在しない。（ジョルダンの曲線定理）という定理の証明を考えているのですが、参考になるサイトとかあれば教えて下さい。
278 2006/02/07 Mをコンパクトリーマン多様体としたとき、 (M上のp-form全体)=(harmonic form全体)+Im △ と直交分解でき、ラプラシアンの固有値は離散的で各固有値の重複度は有限となりますが、これはMを完備有限体積リーマン多様体としたときも成立するでしょうか？ しません。
280 2006/02/08>>279 ありがとう。 考えてたら反例になりそうなの思いつきました。
281 2006/02/10>>278 R^3 の閉部分多様体となる2次元多様体で p = 0, 固有値 0 で反例が出来ると思います。
2006/02/25 連続スペクトルの下限が多様体の変形にどう応ずるかが興味深い問題である。
ミラー対称性？ 正弦定理 一次元複素多様体
304 2006/07/19 一次元複素多様体＝リーマン面という事でいいのですか？
OKだと思いますよ。 証明は知らない。 知ってる人いたら教えてほしい。
どうなんだろ？ よくわからん ど～なのかの～ 当然だけど向き付け可でないと。
リーマン幾何をやってるとリーマン予想解けると思っていませんか？
315 2006/10/15 >>309 概複素多様体は向き付け可能 連結な（これを定義に含める時もある）n次元複素多様体とは、ハウスドルフ空間で局所的に複素n次元数空間の開集合への同相写像が与えられており、それらの間の変換関係が正則写像になっているものを言う。
リーマン面とは１次元複素多様体を言うが、元来は複素数平面に無限遠点を付加してできるリーマン球面上の分岐点を持つ被覆面を言った。これらは同等であることが知られているが、その証明は難しい。
316 2006/11/05>>315 2 次元（複素1次元）概複素多様体は必ず積分可能にならないのですか？
318 2006/11/17 リーマン幾何初心者です。 リーマン多様体上の点pの座標近傍Uを適当にとって
U上で g_ii=1、g_ij = 0 とすることは、いつでも可能ですか？
2006/11/17>>318 私のつたない耳学問では、 計量から決まる レビチビタ接続 の曲率テンソルが零の時可能でその時にのみ可能 では無かったかな。小林・野水に証明が載っているらしい。
>>319 ありがとうございます。やっぱし、いつでもできるというわけではないんですね。 今度図書館から小林・野水を借りてきて見てみます。
325 >>316 real analyticな場合はそうなることが昔から知られていたが、 smoothな場合はNNの定理。
326 2006/12/16 real analytic な概複素構造という意味は分かるますよね。
330 2007/02/19 3次元ポアンカレ予想の証明を理解したいのだが、何を勉強すればいい？
331 2007/02/19 数学セミナー増刊「解決ポアンカレ予想」 がいい。Ricci flowがキーワード 。
>>331 実はその本を見たのでちゃんと勉強してみたくなりました。 どんな本で何を勉強すれば理解できるのですか？
334 2007/02/19 とりあえず Reto Mullerの Differential Harnack Inequalities and the Ricci Flow でもどうですか 。
Prefaceに、
The goal of this book is to explain some of the key ingredients of Grisha Perelman's first paper on the Ricci flow, namely Li-Yau type differential Harnack inequalities, entropy formulas and space-time geodesics.
とある。
ありがとう。とりあえず読んでみる。
332 2007/02/19 質問です 。Gauss-CodazziとWeingartenは 一方が他方の系なのでしょうか。
351 2007/09/13 擬リーマン幾何の教科書を教えて下さい。
337 2007/04/02 重力と電磁気の統一は、そんなにむずかしいことではない。 アインシュタインは重力を計量によって与えたが、それを少し変えて、 各点の慣性座標として重力を与えれば、電磁気を同時に含むようにすることができる。 それを下記に示した。 これは新しい時空の幾何学である。
http://blogs.yahoo.co.jp/japan_miroku/1528596.html
338 2007/05/02 馬鹿も休み休み云え。
340 2007/05/03>>339 昔から電子顕微鏡理論に使われていたらしい。 詳しい事は知らない。
342 2007/05/24 とある一般相対性理論の本を読んでいて、微分形式について簡単な説明があったのですが、計算上の係数に納得出来ない箇所があります。 どなたかのアドバイスを頂ければ幸いです。http://www.nowsmartsoft.or.tv/bbs/test/read.cgi/
Relativity/1179990332/l50
345 2007/09/05 STML16 Differential geometry Kuhnel ＡＭＳ の評価はどうですか？
>>345 http://www.maa.org/reviews/brief_mar02.html
の評によれば、学部生には難しいだろう。
347 2007/09/07わざわざありがとうございます。前半は曲面論のようなのでなんとか読めそうです。
348 2007/09/07 曲線と曲面の微分幾何（小林昭七） という本もあるよ。
349 2007/09/07>348 前半部分（極小曲面）まではだいたい読みました。もう少し曲面からリーマン幾何につながる本を探していたのですが、 >>345を入手したのでここでの評判を聞いてみました。
357 2008/01/27>>354 接続は誰もが一度はわかんなくて悩むところ。 ユークリッド空間と比べたりして考えてみてください。
もう少し具体的ベクトル場などを構成してやってみようと思います。
>>357 普通の偏微分をちょっと補正するだけなんだけど。
>>362 もっと詳しく。 ちなみに今の俺は線形接続についてはわかりました。
>>363 線形接続については362の通りだと言うことはわかった？
>>364 なんとなくわかりました。 しかし偏微分を補正するというよりは方向微分を補正するというほうが近いと 思いました。私は間違っていますか？ 36 2のことについてもう少し詳しく教えてください。
全微分を補正すると言っても実質は変わらない。
（転載貼り付け終わり）
副島隆彦拝
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